Napraforgó-tányér
A magok két, egymással szembe forduló spirálcsaládot alkotnak, és a spirálok száma két szomszédos Fibonacci-szám. Válaszd ki, melyik családot színezzük.
jellemzően 34 és 55 spirál
A természetben (napraforgó-mag, fenyőtoboz) is megjelenő aranymetszést két nézetben mutatja be: a napraforgó-mintázat a magok pozícióját az aranyszöggel forgatva helyezi el, az aranyspirál pedig Fibonacci-oldalhosszú négyzetekbe írt negyedköríves ívekből épül fel - a böngészőben élőben kinő a vásznon, a nagy felbontású változatot pedig a szerver rajzolja PHP GD-vel, és le is töltheted.
A napraforgó magról magra nő a vásznon: minden új mag az előzőhöz képest pontosan az aranyszöggel (≈137,508°) elforgatva kerül a helyére, a középponttól a √n-nel arányos távolságra. A kirajzolás ugyanazt a képletet és színátmenetet használja, mint a szerver, csak itt a böngésző rajzol, élőben.
A Fibonacci-számsorozat minden tagja az előző kettő összege: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... A sorozatot a 13. századi olasz matematikus, Leonardo Fibonacci tette ismertté Európában, bár indiai matematikusok (Pingala, Virahanka) már évszázadokkal korábban leírták.
Ahogy a sorozatban egyre messzebb haladunk, két egymást követő tag hányadosa egyre közelebb kerül az aranymetszéshez (φ ≈ 1,618). Az ókor óta esztétikusnak tartják, de hogy híres épületek és műalkotások tudatosan erre épülnének, az többnyire utólagos belemagyarázás (ld. a lenti Tévhit-kártyát).
A fenti aranyspirál-nézet pontosan ezt az arányt rajzolja ki: minden újabb négyzet oldala az előző két négyzet oldalának összege, a beírt negyedkörívek pedig folytonos spirált adnak ki.
A napraforgó-nézet egy valódi botanikai jelenséget, a phyllotaxist szemlélteti: a napraforgó magjai (és sok más növény levelei, pikkelyei) egymáshoz képest az aranyszöggel (≈137,5°) elforgatva nőnek - ez a szög adja a legszorosabb, legkevesebb hézagot hagyó elrendezést, ahogy a fenti mintázat is mutatja.
Az aranymetszés és a Fibonacci-számok tényleg megjelennek a természetben és a matematikában, de nem mindenhol, ahol a népszerű cikkek állítják. A kártyák ábrái mind a böngészőben készülnek, nincs bennük fotó. A "Tévhit" jelvényű kártya megmutatja, mit nem igazolnak a mérések.
A magok két, egymással szembe forduló spirálcsaládot alkotnak, és a spirálok száma két szomszédos Fibonacci-szám. Válaszd ki, melyik családot színezzük.
A toboz pikkelyei jellemzően 8 és 13 spirálba rendeződnek. Az ananász hatszögletű mezőin három irányban is látszik spirál: 8, 13 és 21. Erős tendencia, de nem kivétel nélküli törvény.
Sok virág szirmainak száma Fibonacci-szám: liliom 3, boglárka 5, szarkaláb 8, aggófű 13, őszirózsa 21. Ez erős tendencia, nem törvény: fajtánként és példányonként is eltérhet.
Két egymást követő levél a szár körül a kör törtrészével fordul el: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13 ... Ezek Fibonacci-számok hányadosai, és a körfordulat 1/φ² ≈ 0,382 részéhez, azaz az aranyszöghöz (137,5°) tartanak.
A fej csúcsos tornyai spirálisan sorakoznak, és minden torony maga is ugyanilyen, kisebb tornyokból áll: ez az önhasonlóság. A spirálok száma itt is jellemzően Fibonacci-szám. Az ábra egyszerűsített, számított modell.
A herék megtermékenyítetlen petéből fejlődnek, ezért egy szülőjük van (az anya), a nőstényeknek két szülőjük. Visszafelé haladva az ősök száma generációnként Fibonacci-szám. (Az ábra a rokonházasságot figyelmen kívül hagyja.)
Liber Abaci (1202): egy újszülött nyúlpár egy hónap alatt kifejlődik, majd minden hónapban egy új párt hoz világra, és egyik sem pusztul el. A párok száma havonta: 1, 1, 2, 3, 5, 8 ... Idealizált feladat, nem valódi állattenyésztés.
A háromszög "sekély" átlóin (ahol a sor- és oszlopszám összege állandó) lévő számok összege a Fibonacci-számokat adja. Válaszd ki az átlót.
A szabályos ötszög átlójának és oldalának aránya pontosan φ = (1 + √5) / 2. A pentagram éleit a metszéspontok is aranymetszés szerint osztják.
Két szomszédos Fibonacci-szám hányadosa váltakozva alulról és felülről közelíti az aranymetszést: φ = 1,6180339887... Az értékek pontosak, egész számokból számolva.
A nautilus-héj logaritmikus spirál, de nem az aranyspirál: fordulatonként kb. háromszorosára tágul, az aranyspirál viszont fordulatonként φ⁴ ≈ 6,85-szörösére. Az aranymetszés a Parthenon, a Mona Lisa vagy az "ideális arc" arányaiban sem bizonyított: a mérések szelektíven illeszthetők.
Mind a 4 alábbi PHP-függvény TÉNYLEGESEN lefut a szerveren, minden gombnyomásra újra - az idő nem szimulált, hanem a PHP saját, nanoszekundum-pontos órájával (hrtime) mérve.
A tankönyvi megoldás: fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2), semmilyen gyorsítás nélkül. Ugyanazt a részeredményt sokszor, feleslegesen újraszámolja, ezért exponenciálisan lassul n növelésével.
function naiveRecursive(int $n): int
{
if ($n < 2) {
return $n;
}
return naiveRecursive($n - 1) + naiveRecursive($n - 2);
}Minden hívás két újabbat indít, és ugyanazokat a részeredményeket újra és újra kiszámolja. A színek a k értékét jelölik: a sok egyforma színű csúcs a felesleges, ismételt munka.
Ez az oldal Google Analytics-et használ a látogatottság méréséhez. Ehhez a hozzájárulásod szükséges - részletek az adatvédelmi tájékoztatóban. Adatvédelmi tájékoztató